Holomorphe Abbildungen sind manchmal schon Überlagerungen

Gegeben eine holomorphe Abbildung $f : X \rightarrow Y$ zwischen Riemannschen Flächen $X,\ Y$, können wir uns fragen: Ist $f$ eine Überlagerung? Unter welchen hinreichenden oder notwendigen Bedingungen?


Also zunächst mal die Definition von Überlagerung mit der ich hier arbeite:
Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ zwischen (zusammenhängenden) topologischen Räumen heißt (holomorphe) unverzweigte Überlagerung, wenn sie ein lokaler Biholomorphismus ist und für jedes $y_0 \in Y$ eine Umgebung $U \subseteq Y$ existiert, sodass $f^{-1}(U)$ aus der disjunkten Vereinigung von via $f$ zu $U$ biholomorphen Mengen besteht. Die Kardinalität von $f^{-1}(U)$ heißt die Blätterzahl der Überlagerung. Klar: eine Überlagerung ist immer surjektiv und offen.

Man spricht von verzweigten Überlagerungen, wenn es Punkte gibt, die keine Umgebung $U$ haben, sodass für alle Komponenten $K \subseteq f^{-1}(U)$ gilt $f|_K : K \rightarrow U$ Biholomorphismus, sondern $f|_K$ lokal von der Form $z \mapsto z^n$ mit $n > 1$. An dieser Definition sieht man gleich, dass jede endliche holomorphe Abbildung eine (verzweigte) Überlagerung ist (siehe lokale Normalform).

Und was heißt nochmal endlich?
Eine Abbildung heißt endlich, wenn sie nur endliche Fasern hat, d.h. für jeden Punkt $y \in Y$ ist $f^{-1}(y)$ eine endliche Menge (die Faser). Es gibt natürlich auch unendliche Überlagerungen, z.B. $\text{exp} : \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C}^\times$ (dabei ist $\mathbb{H}$ die obere Halbebene der komplexen Zahlebene).

Verzweigt und unverzweigt:
Wenn man nun eine endliche holomorphe Abbildung $f : X \rightarrow Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen $X,\ Y$ hat, so ist dies eine verzweigte Überlagerung, deren Verzweigungspunkte in $Y$ definiert sind als die Punkte, an denen $f$ lokal kein Biholomorphismus sondern eine Abbildung $z \mapsto z^n$ mit $n > 1$ ist. Diese Menge der Verzweigungspunkte liegt diskret in $Y$ und damit, da $Y$ als kompakt vorausgesetzt wurde, endlich. Bezeichnen wir diese Menge mit $S$, dann erhalten wir eine Abbildung $f|_{X\setminus f^{-1}(S)} : X\setminus f^{-1}(S) \rightarrow Y \setminus S$. Diese Abbildung ist dann eine unverzweigte Überlagerung.

Was ist daran nun interessant?
Man kann die Theorie der Überlagerungen für die Funktionentheorie bzw. Riemannsche Flächen nutzen. Es stellt sich heraus, dass einige interessante funktionentheoretische Phänomene eigentlich topologischer Natur sind, d.h. z.B. nur vom (topologischen) Geschlecht der betrachteten Flächen abhängen.