Mathe für Nichtmathematiker

Kürzlich habe ich mal versucht NichtmathematikerInnen zu erklären, was ich da eigentlich so mache (in meinem Mathematikstudium).

Da ich algebraische Geometrie benutze, wollte ich versuchen die Intuition zu vermitteln, was ein Schema ist oder wieso man in diese Richtung denkt. Das versuche ich jetzt also einmal in geschriebener Form:

Stell dir einen Kreis mit Radius $r$ vor, also die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt des Kreises genau den Abstand $r$ haben. In der $x,y$-Ebene lässt sich ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung $0$ ist, leicht beschreiben, denn der Abstand vom Nullpunkt ist für einen Punkt $(x,y)$ gegeben durch die Formel $\sqrt{x^2+y^2}$. Der Kreis wird dann beschrieben durch die Menge $K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ |\ \sqrt{x^2+y^2}=r\}$, dabei bedeutet $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ ganz einfach, dass $(x,y)$ ein Punkt in der Ebene ist, dessen Koordinaten $x$ und $y$ reelle Zahlen sind, also z.B. $1,2,3, 4.5, 7.777777...$ oder auch $\pi, \frac{12}{7}$ usw. Jetzt schreibe ich die Menge $K$ noch ein kleines bisschen anders:
$K = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2-r^2=0\}$, man überzeuge sich davon, dass dies die selbe Menge von Punkten in der Ebene $\mathbb{R}^2$ ist.

Wir haben also gesehen, dass sich ein Kreis in der Ebene durch eine Gleichung $\sqrt{x^2+y^2}=r$ beschreiben lässt, genaugenommen durch das Polynom $x^2+y^2-r^2$ und seine Nullstellen (die Nullstellen dieses Polynoms sind genau die Lösungen der Gleichung, also genau die Punkte auf dem Kreis). Die Frage, die man sich jetzt als Mathematiker stellt, ist die: Was passiert, wenn ich in das Polynom nicht nur reelle Zahlen einsetze sondern z.B. nur ganze Zahlen? Die Nullstellen des Polynoms in den ganzen Zahlen sind eine Teilmenge von $\mathbb{Z}^2$, und sie liegen auf einem Kreis. Wenn der Radius $r=1$ ist, gibt es z.B. nur genau $4$ Lösungen, d.h. vier Punkte auf diesem "ganzzahligen Kreis" (man macht sich das vielleicht am leichtesten an einer Zeichung klar).

Das Selbe funktioniert im Wesentlichen auch mit anderen durch Gleichungen definierbaren geometrischen Objekten, z.B. einer Kugeloberfläche (man stelle sich eine Seifenblase vor) oder einem Torus (d.h. eine Donut-Oberfläche). Nun geht man noch einen kleinen Schritt weiter und "verklebt" die Lösungsmengen von solchen Polynomen miteinander. Mathematisch heisst das, man bildet einen topologischen Raum, der lokal so aussieht wie die Nullstellen von Polynomen.

So, wenn jemand Feedback zur Verständlichkeit hätte oder Vorschläge, was man noch so erklären könnte, wäre ich sehr dankbar!